Dimensions_ニコニコ動画GINZAのメモ


Dimensions 第6章 複素数-変換


<メモ>
変換までにしておく。9章はステレオグラフ射影を説明しているので勉強しても良いかもしれないが、とりあえず保留する?


Dimensions 第5章 複素数


<要点>


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<二つの概念の定義>
1.複素数の絶対値 -> 原点(0,0)から複素数の点を結ぶ線の距離 (つまりUnityで言えばVector3.magnitude)
2.複素数の偏角 -> 「水平軸」と「原点と複素数があらわす点を結ぶ直線(下図で言えば赤や緑、青の線)」との間の角度である

<補足:言葉の意味>
■「絶対値」
正負の数の「絶対値」とは数直線上で「原点からある数までの距離」の事。同時に「符号の部分」を取り除いた「数字の部分」、符号をプラスに書き換えたもの。UnityではMathf.Abs()で求める事が出来る
■「偏角(へんかく)」
複素数を複素平面に表した時の実軸との角度

1.複素数の絶対値について(Vector3.magnitudeについて)
ふたつの複素数を掛けた点の長さは、ふたつの複素数の長さを掛けた数字と同じになる
fukusosu6.jpg

2.複素数の偏角について
緑色の点の偏角は、ふたつの複素数の偏角の和と同じになる
fukusosu7.jpg
ふたつの複素数を掛けると絶対値は掛けられ、偏角は足される

<解説より重要と思われる抜粋>
複素数 z = x + iy の絶対値は,単に対応する点 (x, y ) と原点の距離である. z の 絶対値は |z | と書かれ,その値はピタゴラスの定理により, √ (x 2+y 2) に等しい. 例えば, i の絶対値は 1 で あり, 1 + i の絶対値は √2 である.


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任意のふたつの複素数を掛けることも出来る

<例>
2.0+1.5i と -1.0+2.4i を掛けてみる
通常通り式を展開していく

(2.0+1.5i)(-1.0+2.4i)
= 2.0(-1.0+2.4i) + 1.5i(-1.0+2.4i)
= -2.0+4.8i-1.5i+3.6i*i

ここでi*iに注目。虚数iの自乗は-1になる筈だった為・・・
= -2.0+4.8i-1.5i-3.6

となり、これを整理すると

= -5.6+3.3i

となる。(これで平面の2点(単一の数である複素数同士)を掛ける事ができるようになった
(一次元の数でも虚数を含めて計算する事により、あたかも二次元の平面上で拡大縮小、回転を表現できるかのように数を表現できるようになる)
(クォータニオンは複素数に基づいている、たぶん内部で虚数を利用している・・・)


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虚数i(√-1のこと)を使うと決めると2i、3iという点を取る事も出来る。平面の点は複素数をあらわす
逆に複素数は平面の点となる。(x,y)の点が「一つの複素数」になる
これらの点は普通の「数」のように足すことも出来る。幾何学的にはこれはベクトルの足し算になる

fukusosu4.jpg

複素数同士を実数と同じように掛ける事も出来る。例えば「1.0+1.0i」に2を掛けると「2.0+2.0i」になる。これは幾何的には「2倍の拡大」となる
iを掛ける事も出来る。その場合、iは1/4回転する事を知っているからそのまま90°回転させると良い

fukusosu5.jpg

この事から複素数との計算には以下の特徴がある事がわかる
  • 複素数の足し算はベクトルの足算
  • 複素数の掛け算は複素数に実数を掛けると拡大縮小
  • 複素数の掛け算は複素数に虚数を掛けると回転となる(単なる掛け算の中に回転という円運動が潜んでいた?)
  • 結果、掛け算の中には回転と拡大縮小が合成されている

(この計算はマトリックスのアフィン変換で見かけたような・・・)

2


  • -1を掛ける事が180度回転を意味するなら → その平方根は180度の半分、90度。つまり√-1が90度。これの自乗(√-1×√-1)= -1、180度になる
  • このことから、「-1の平方根は1を90度回転した点」であらわされる事に決めた
  • しかし、こう決めると水平の直線だけでは表現しきれなくなる(直線上にあるとは限らない「平面の数」を扱うと決めてしまったから(1次元増えた?)
  • この構成の仕方は少し奇妙なので√-1の点は虚数、想像上の数iであらわす事にした

なんとなくのイメージだが、ステレオグラフ射影の線や円が平行になると直線になったり直交すると無限遠点になって消えたように見えるのは
これが原因なのかな?、と。直線の住人トカゲからすると90度の位置に来た点は完全に虚数になって次元が完全に上がり影が消えたように見える?


<解説より抜粋>

2.数と変換
われわれは直線上の点は原点の左で負,原点の右で正となる1つの数で定まるから1次元であることをみた. 点は幾何的な対象で数は代数的な対象である.数を点のように考えるあるいは点を数のように考えること,すなわち, 代数と幾何を一緒に考えることは数学で最も実り豊かな考え方のひとつである. いつものことであるが,誰か一人がこの考え方を始めたとは言い難いが,一般に 幾何の問題を代数によって研究する強力な方法はデカルトにより始められたと言われてい る:これが, 代数幾何の起源とされる. 直線上の点が数と考えると,数の間の初等計算,つまり,足し算と掛け算の幾何的な意味が分かる. この理解の仕方の鍵となるのは変換という考え方である.

例えば,ある数 x か ら 1 を引くのは,すなわち,変換 x - 1 は,幾何的には平行移動: すべての点は左に 1 だけ平行移動されると考えられる.
同様に, 2 を掛けるのは,引き伸ばしと考えられる.

,-1 を掛けるのは各点 x を - x に写すの だが, 対称移動:各点を原点に対して対称な点に写す変換であると考えられる. -2 を掛けるのは,これら2つの操作を組み合わせたものである. 2つの数を掛けることは,2つの数に対応する変換を合成することに対応する. 例えば, -1 を掛けるのは各点を原点に対して対称な点に写す変換だから, この変換を2度行えば,各点は元の点に戻る.一方, -1 とそれ自身の積は +1 で ある. -1 の二乗は +1 である.

,-2 の二乗は同じ理由で +4 で ある. これらのことから,任意の数の二乗は正であることがわかる. 二乗が -1 となるような数は存在しない.
言い換えると, -1 は平方根をもたない.



  • -1掛ける事は対称移動変換
  • -2を掛ける事は2つの変換操作の組み合わせたもの(A×-1×2)。つまり-1で対称移動変換して、2で引き伸ばしている
  • 2つの数を掛けることは2つの数に対応する変換を合成することに対応する


まとめ:
アルガンは平面の点 (x, y ) は,2つの(実)数である と考えないで,1つの(複素)数であると考えるようにと言っている。
これは,驚くべきことで,人工的であるように見えるが, 後で,非常に強力なアイデアであることがわかる.

1次元(ひとつの数)を2次元的(平面的)に扱えるのでは…

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  • 数学での最も美しいアイディアは幾何と代数を関係付ける事。それが代数幾何学の出発点
  • 二つの数が足す事ができるように、ふたつの点を足す事ができる。直線状に赤色の点と青色の点を取り、それらを足してみる。緑点が和
fukusosu1.jpg
赤色の点と青色の点が動けば、それらの和である緑の点も動く

  • 二点の掛け算を考えてみる。-2倍する事を考えてみる
1は-2に移る
-2は4に…(2回マイナスの値を掛けると正の値プラスになる)
fukusosu2.jpg

  • -1を掛けると・・・どの点も原点に対して対称な位置(原点を中心とした180度回転した位置)に移される
  • 数(すう)をそれ自身と掛けると何時でも正の値が得られる -1×-1=1 , 1×1=1 等
  • -1に-1を掛けると半回転して元の位置に戻ってくる(つまり360度回転して元の位置に戻ってくる。これが(-1×-1)が+1になる理由)
fukusosu3.jpg

-1×-1=1、1×1=1、-1×1=-1・・・つまり
それ自身と掛けて-1になる数字、?×?=-1 (?の2乗=-1)という数字は存在しない!
別の言い方をすると「-1」は平方根を持たない



第3、4章 第4次元


<要点>
  • 3次元の物体はn面体だが4次元ではn胞体になるらしい。面が球になる?みたいな…
  • 次元が上がると射影されたもので認識する形式になる。3次元を2次元の平面テーブルの上に射影したように映像は4次元の物体を3次元空間に射影したもの
  • 影が立体になっている感覚

第2章 3次元


<要点>
  • 二次元人は三次元の物体を直感的に認識しづらい(例えば断面しか認識できない的な…)
  • 2次元人はステレオグラフ射影から3次元上の物体の頂点の数、面の数、辺の数がわかる

第1章 2次元


<要点>
  • 球面上のすべての点は、中心から同じ距離にある
  • 経線は地球の北極と南極を結ぶ半円
  • 経線の軸と緯線で切断される面の関係は直交(直角)
  • 経線(けいせん:縦:X軸)と緯線(いせん:横:Y軸)で地球表面上の位置を特定できる
  • !球面は2次元 数学者はこれをS2と呼んでいる
  • 地面からの高度で3次元になる

  • 地球を描く一つの方法としてテーブルの平面に投影する。北極から特定地点を貫く直線を引く
  • この線はテーブルの平面上のどこかの点にぶつかる。この点をテーブルへの射影と呼ぶ
  • 北極に近い地点の射影程、テーブル上の地点は遥か遠くになり北極点では無限の彼方(無限遠点)になる(結果、北極は射影を持たない様に見える)

  • 長さは変わるが形は保たれている→ステレオグラフ射影は共形的
  • 北極から射影すると経線は南極から出る直線、緯線は同心円になる

  • 地球を転がらせると経線と緯線は「円」か「直線」になる事がわかる
  • ステレオグラフ射影は球面上の円周を平面上の円周に写す
  • 但し、射影の中心を通る円周は例外で、その射影は平面上の直線となる

  • 転がってる地球を下から見ると…
  • 経線と緯線はそれぞれ円周の束に見える
  • 「経線全体」が収束している点が、南極と北極
(赤道の緯線上を横に移動するとぐるぐる回りだす。これはループしている風に見える)

  • 最終更新:2013-11-17 15:29:17

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