計算の基本

計算の基本

中学校、高校で習う数学技術の再確認が主になっています。ゲーム製作中で利用する数式を自分なりに変形させる時、必要になってきます

  • 四則演算
× ÷

  • 記号計算時に便利な式の変形パターン
目的によって式の変形のさせ方は変わるので、この目的を明確にした上で計算を始める事
おおまかに幾つかのパターンがある(式の変形の練習として二次方程式の解や微分積分は非常に良い題材)

・特定の項を求める式に変形する
・式を変形しながら単純化。ひとつにまとめる
・ある既知の定義や公式に近い形の式に誘導変形する 等

<ある既知の定義や公式に近い形の式に誘導変形>
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平方完成のように打ち消し合う値を挿入して式の変形を行う。この場合「-bc+bc」の部分。この形は微分係数の式に似ているので案外、使う機会は多い

これも咄嗟には分りにくいパターン
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一見変形は不可能そうに見えるが出来る。有理数と符号が混じり合う式の変形は間違えやすいので注意
符号変換した際は分子のみに-1を掛ける形になる

有理数を分離するパターン
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この時bとcは式の外に出せる点に注目。微分の式の変形でlimの効力を届かせたい場合に使う時がある

  • 加法・減法
個人差はあるが、これらの式の変形は咄嗟に出にくいので少し練習すると良い
以下は有理数計算の時、無意識に利用しているが記号計算時には気が付きにくいので注意
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  • 乗法・除法
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  • 係数からの分離
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この式の2acの部分は係数の数だけacを分離している。このような式の変形の仕方もある。ある目的を持って変形したい場合に有効な手法となる

  • 通分
いくつかの分数があるとき、それらの各分数の分母、分子に適当な数をかけて分母を共通にして式を整理する
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  • 約分
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Cがa,bの共通因数であれば分母分子をCで割っても分数の値(比)は変わらない
a=16,b=18,c=2の例
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  • 両辺に逆数を掛ける
右辺のbを消したい時など、逆数を両辺に掛けて整理している
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  • 移項
右辺のbを左辺へ移す。「等式の性質」を利用して両辺に同じ数を引いた結果、移項したものは符号が反転します
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  • 交換法則
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  • 結合法則(associative law)

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  • 分配法則(distributive law)
単純に括弧を外す時に使う
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括弧でくくった項と単項を交換法則に従って入れ替え結合法則に従って掛ける順番が変わるなどしても大丈夫
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<特定の項を求める為に式を単純化して変形する>
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微分などでは関数を扱う。関数自体を一つの記号と考える事が重要。単純な変形でも英数字、記号が入り乱れるので混乱しやすい
慣れるまでは場合によって脇に単純化した式を書き、一つ一つ丁寧に式を変形していくと良い

<式を単純化する変形>
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微分などで見かける関数を扱った式の変形で最終的に式を単純化している(分子が微分の積の公式の形なので誘導変形とも言える)


因数分解と式の展開


因数分解(factorization)と展開(expansion)は互いに逆の操作になる。
下記の場合、左辺が展開された式、右辺が因数分解された式になる。因数分解された式は必ず積算を含む式で構成される
a,bにどんな数値を代入しても成り立つので、「恒に成り立つ式」という意味で「恒等式(identity)」と呼ばれる

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因数分解の図形的イメージ
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  • 平方完成
因数分解の一種。その操作を幾何的なイメージにすると以下のようになる。左辺の一般式には因数分解した際にできる定数項の2^2にあたる部分がない。なので因数分解する側でカウンターとなる数字を付け足して因数分解の式を成立させる。こうして一見因数分解できなさそうな二次方程式でも右辺のように平方完成で式が作れる

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  • 二次方程式の解の公式
一番下の式が解の公式になります。一応、式の変形で解を求めるところまで合わせて書いています
解の公式を正常に得るための式の変形は平方完成と中学で習った演算法のすべてが総動員される為、自分の算数の理解力を試すのに良い題材だと思います

<要点>
  • aの係数の範囲を括弧でくくって第二項までで止めている
  • 平方完成を利用している
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  • 約数と因数分解の違い
約分はある整数を割り切る様な変形操作の事。割算のイメージが強い
因数分解はある整数を積の形に表すような変形操作。掛算のイメージが強い

  • 因数=公約数=因子 ふたつ以上の整数に共通な約数、ある整数を積の形に表した時の各要素。掛算のイメージが強い
12と15の公約数は1と3になる。36と48と108の公約数は{1,2,3,4,6,12}。これは最大公約数12の約数になっている

<直観では分かりづらい式の変形>
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演算の注意点


文字でないもの同士の乗法では×の演算記号は省略不可とする習慣をつけよう
例えば6÷2(1+2)のような式は書かないようにする。この式を他者に解いてほしいと思った場合、6÷2×(1+2)と書くのが正しい
(数学において複数の解釈が可能な式を問いとして出すこと自体が間違いであるという考え)

  • 最終更新:2015-03-09 23:45:30

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