算数・数学上の勘違いを防ぐ覚書

算数・数学上の勘違いを防ぐ覚書


単純な勘違いを防ぐ為の覚書。

演算の優先順位



演算の優先順位

  1. ()  括弧内の計算が最優先
  2. 累乗 n乗等
  3. 積商 ×÷(×と÷の優先順位は同じなので先に出てきた左側から計算していく事)
  4. 和差 +-

基本的に式の左側から順に計算してゆく

積分や微分の計算ではこれらを徹底する事!
数学知識に長けた行儀の悪い本では式の右側から変形させていることが散見される事がある
しかしそれは本当はNG(例えば「フーリエの冒険」等でも散見できる)

計算に慣れていないうちは、あまり真似せずとにかく左側から崩すことを徹底すると間違いが減る
きちんと計算すれば必ず結果は同じになる

計算例:

doubt5.jpg





カッコに関して


変数の足し算を内容に含んだ括弧は左辺に掛算が残っている場合、外せない。

D・C(a+b) → D・Ca+Cb (これはNG!)
D・C(a+b) → D(Ca+Cb) (これはOK!)

例;

<NG!>
5×3×(2+1)
=5×6+3
=33

<OK!>
5×3×(2+1)
=15×(2+1)
=45

<OK!>
5×3×(2+1)
=5×(6+3)
=5×9
=45

<OK!>
5×3×(2+1)
=5×(6+3)
=30+15
=45

(追記)
上記に関連する事柄ではありませんがネットで検索して少々興味深い記事を見つけたのでメモっとく


6÷2(1+2)=? の答えはどうなるかという議論なのだが =1 にならずに「Google先生 = 9」や「WolframAlpha = 9」になる
ちなみにPocketCasでも9になる。括弧内を最優先に1+2して結合規則に沿って式の左から6÷2してそれ同士を×していると思います
(個人的な考え、よくよく考えると =9 の方が正しいと思います)

2014-05-06 12.00.18.jpg


>さらに Wolfram Alpha では、括弧付きでない暗黙の乗法は除法より優先されるが、演算子を明示した乗法や括弧付きの暗黙の乗法はそうではないとしている。例えば、2*x/2*x と 2(x)/2(x) は x^2 となるが、2x/2x は1になる[7]。TI-89電卓では、3例とも x^2 となる。

もう少し調べてみましたが、ここが混乱の元となっている部分の様です。つまり実際の数学の式の変形や数学アプリなどでは

  • 括弧付きでない暗黙の乗法は除法より優先
  • 演算子を明示した乗法、括弧付きの暗黙の乗法の場合、除法が優先 2(1+2)は「括弧付きの暗黙の乗法」なので6÷2が優先される

となるようです。ちなみにunityで計算してみると

using UnityEngine;
using System.Collections;

public class MathTest1 : MonoBehaviour {

  void Start () {
       print(6/2*(1+2));
   }
}

出力
9

C#では暗黙の乗法は使用できない。/と*に優先順位の差は無く結合規則により数式の左側から処理される
この場合、順番的には括弧内を計算後、結合規則により数式の左側から二項演算子-剰余として「/」って「*」って逐次処理される

(追記)
これは間違いなく9にならないとおかしい
たとえば微分の計算中、以下のような式の展開をします

nine2.jpg

ここの冒頭でも述べましたが多項式に対しての掛算除算は、計算中、周りに乗除算がなくなるまで括弧があるものと考え、外してはいけない筈
たとえば6÷2(1+2)=?の式をv÷x(y+z)の式とした場合、以下になる筈

nine3.jpg

先に括弧内を計算して、式内に乗除算のみになっていることを確認し、2x等の暗黙の乗算式は単項として扱い左から乗除算を解決していく。以上


乗法と内積の勘違い



乗法で (a+b)×(c+d) は ac + ad + bc + bd になる
内積で A=(a1,a2) B=(b1,b2) の時、ベクトルaとbの内積(スカラー積)A・B は a1*b1 + a2*b2 になる
行列の計算方法はこちら ⇒ 行列演算その2

  • 最終更新:2014-05-24 19:12:44

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