放物線

二次関数の数式はグラフで描くと例外なく放物線となる
解は復号(±)により、実数解、重解、共益な虚数解となり、それらの点が集まって放物線となる

資料:

放物線の二次関数式

目的に応じて扱いやすい式の形がある

■基本形:
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■標準形:放物線の頂点(山の頂上)を主観とした二次関数
daum_equation_1423732475096.png

■展開形:係数を主観とした二次関数。代数的に扱いやすい
daum_equation_1423732522302.png

■焦点、準線を主観とした二次関数
落としたボールがパラボラアンテナを跳ね返って通る線は必ず焦点を通る
(今回は扱わない)

■因数分解:複号の実数解を主観とした二次関数
daum_equation_1423732722871.png

数式の応用例

以下の関数を利用した座標変換を使ってグラフを好きな位置に配置すると自由に二次関数のグラフが作れる。今回は放物線グラフに対して利用していますが、これらは他の関数へも流用が可能で座標変換の計算手法はゲーム制作において非常に利用範囲が広いと思われます

■座標変換によるグラフの平行移動
daum_equation_1423733505757.png
<原理>
冒頭に述べたように関数に対する座標変換の原理を利用して式を導きだしています。2Dの場合、座標に関係する関数は x と y
この二つの元の座標を X と Y と考え、平行移動量を(p,q)、移動後を x と y とすると、座標変換を表現した各関数は以下の形になる
daum_equation_1423843533624.png
ゲームの場合、f(x)が敵キャラクターの動きの軌道を表す数式であった場合、この考え方を流用すれば、その動きの位置を平行移動で制御する事が出来る
curv3.png



■線対称移動
daum_equation_1423734045148.png
<原理>
元の座標を X と Y と考え、s は x 対称軸の位置を表す、移動後を x と y とする
相加平均から外分比に式を変形させて対称位置を割り出している。単純だが思いつきにくいので、ここは大事(資料:内分比、外分比 、資料2:
curv1.png
あとはこれを関数にあてはめれば式が出来上がる
daum_equation_1423849495875.png

curv4.png
同じようにY軸対象に対しても考える事が出来る
daum_equation_1423968797180.png
公式は以下になる
daum_equation_1423968604775.png



■点対象移動
daum_equation_1423969366711.png
線対称の x と y を合わせると点対象となる。対称点( s , r )とすると。公式を求める式は以下になる
daum_equation_1423969136324.png
curv5.png

tips


■展開系から平方完成を利用して標準形にして頂点位置を求める
daum_equation_1423732475096.png

daum_equation_1423970175236.png

  • 最終更新:2015-02-17 20:31:44

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