微分

微分


微分は分析。積分は統合。考えの基本に平均変化率と帰納をベースとした極限を利用している
微分・積分の対象となる物は常に関数である。つまり微分積分は関数を分析・統合する技術といえる

関連資料:

導関数


導関数は平均変化率の極限(微分係数)を関数として捉えたものである

これを利用する事でグラフのある指定した点の接線の傾きを得る事が出来る
傾きが「プラスの値の場合右上がり」「0の場合グラフの山の頂点」「マイナスの場合右下がり」という情報が分析的に得られる
これは情報元となる関数の式が変わらない場合、"実際にグラフを書かなくても(計算可能な全頂点を出力(plot)しなくても)"
指定した数点の接線の傾きによりグラフの形が補完描画できるという事を意味している

<利用例>
2014-09-24 22.43.png
これは3DS_MAXやMAYA等の3dcgのツールでアニメを作った人間であれば見覚えがある光景だと思う。つまり微分でキーを求めると考えればいい
赤い線は微分で求めた傾きで、これにより線を上、下どちらの方向に引けばよいか決める事が可能となる
(山位置が的確に拾えれば別だが、キーの情報として頂点位置だけでは線を引く方向は決めれない。また滑らかに繋げる事も不可能。だから微分が必要)
間の青い線は機械的に導いた補完線でベジェやスプラインで作成する。また、微分で求めた傾きはAIに渡したりキャラクタの向きにも流用できる

<導関数が定義されるおおまかな流れ>
daum_equation_1411570286835.png

合成関数の微分


別々の関数同士を合体させて一つの関数として扱った際の微分の公式(導関数)は以下となる
daum_equation_1411619737416.png
(微分中の式は別記します)

Wolfram|Alphaを利用する場合は以下のようにすればよい(ちなみに導出の経過の説明や詳細を見るにはproの有料版に加入する必要がある)

tips:
iOS版のWolfram|Alphaアプリはこの導出なども無料で閲覧できる。また計算結果も画像ではなく、すべてテキストデータで出力される
なので勉強中はiOS版アプリとの併用が便利ですよ(その代りPCの有料版は作業しやすい上に説明がより詳細なようです)

積の微分


関数同士を掛け合わせた際の微分の公式(導関数)は以下となる
daum_equation_1411630924943.png
(微分中の式は別記します)


商の微分


関数同士を割算した際の微分の公式(導関数)は以下となる
daum_equation_1411632541485.png
(微分中の式は別記します)


各公式の微分の詳細




平均変化率


daum_equation_1410362421832.png

daum_equation_1410419987911.png
においてxが0から3まで変化する時の平均変化率を求めよ。という問題があった場合
2014-09-11_2.png
式は以下となる
daum_equation_1410422575656.png
(傾きが6になるという事はxが1進むとyは6進むという事)

考察


(過去の考察)
例えば株価のグラフの場合、元となる関数の式の形は刻一刻と変化していると考えても良い。その意味でグラフは常に不連続の可能性を持ち
もし、そのグラフに近似する式を得たところで100%確実に予測する事は不可能と考えられる。しかし近似した式からその株が上がり調子なのか
下がり調子なのかを過去のデータから参照してある程度高確率な予想をすることは可能かもしれない


追記:
人間の行動自体を近似の関数式にすれば予測はある程度できる


  • 最終更新:2015-03-09 22:38:27

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